灘 図形 解き方4通り！！高校入試
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- Опубликовано: 18 сен 2024
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川端哲平の自己紹介
昼は、私立の中高一貫校の非常勤講師、夜は、塾講師として数学を教えて math
問題の解説のリクエストは基本的に受け付けていません。ご了承下さい。
学校は、明大明治、本郷、洗足学園、山手学院、かえつ有明などで教えていました。
塾は、大学時代から、個別指導のトーマスで指導を始め、２０歳から早稲田アカデミーで高校入試、大学入試の数学を教えていました。
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数学を数楽にする高校入試問題81
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僕の考えた別解です。
半直線BA上に点Eを
△EBCが∠EBC=∠ECBの二等辺三角形となるようにとる。次に点Eから辺BC上に垂線を下ろしその交点を点Hとする。
このとき△EBCが二等辺三角形であることからBH=5/2となるのでBD:DH=1:3/2=2:3となる。
よってBA:AEも2:3となる。
ここで△EBCは二等辺三角形なので∠ECA=●なので∠ECA=∠BCAより内角の二等分線定理よりBC:EC=2:3となる。よってBC=5だったのでEC=15/2がわかる。最後に、△EBCは二等辺三角形だからEB=15/2もわかるのでAB=(15/2)×(2/5)=3
が求まる。以下は1つ目の解き方と同様に、三平方の定理を2回使ってAC=2√6が求まります！
これでどうでしょうか？
なるほど！そっちに補助線引くとは！
高校生以上ならAC＝b、AB＝c、角C＝θとおいて、0°＜3θ＜180°に注意して
sin２倍角の公式、余弦定理、cos３倍角の公式、三平方を使えば３つ式が立つので
それぞれが求まりますね。
実はそんなに計算も難しくはないです。
結果だけ書くと（cosθ＝tとする）、
2ct＝b
b^2+c^2+2bc(4t^3-3t）＝25
b^2＝c^2+15
ここからb,tを消去する方針でやれば、最終的に上手いこと225/c^2＝25という式になります。
よってc^2＝9となり、b^2＝24、b＝2√6を得ます。
勿論、角の2等分線を引くのが初等幾何的であり、中学生向けの解法ではあるでしょう。
むしろ私には、この状態でちゃんと図形が定まるのが意外でした。
見た瞬間は図形は定まらずに、bだけがとにかく求まる系の問題かな？とも思ったので。まぁ、そのほうが数学的なんですけどね！
素晴らしい解説だと思います。４番目が一番分かり安かったけれど、補助線が引けるかどうかが全てですね。また、中学生の時に三角形の一つの角度を二等分した時、あの比の定理を教えてもらっていたのか、それとも、忘れていたのか記憶にありません。父親の世代では図形の問題を幾何と呼んだそうですが、とても面白いですね。
AD2＝8からAD＝2√2をいちいち求めることはせずに、AD2＝8を残したまま△ACDに三平方の定理AC2＝AD2+16を使い、
この式にAD2＝8を代入してAC2＝24からAC＝2√6を求めた方がまわりくどくなくすっきりしていて早いとも思いました。
様々な別解はとても勉強になります。実際の試験で相似だけで解いた人は少なくほぼ皆三平方の定理は使ったと思います。
補助線は賢い人にしか見えない線です。
三角比に甘えた人
角ACD=θ(0°
勉強になります。角の二等分線と辺の比、その前の補助線の引き方、基本の組み合わせですが、そこに至る発想や流れを想像するには、このような良問を多く解いておく必要はありますね。これからも良問紹介よろしくお願いします。
最初のやり方で解きました。最後の解き方は鮮やかだなあ。
いまさらですが、おすすめに出てきたので解いてみました。
自分が考えたのは、線分ADを対称軸として、三角形ADCを左に180°回転して、
点Cの対称な点をC‘とすると、三角形A C‘Bは、C’B=ABの二等辺三角形になるから
C’B=C‘D-BD=4-1=3 したがって、C’B=AB=3が求めることができます。
あとは、先生と同じ流れです。
先生の最後の解法は、三角形AB Dを線分ADを軸として半回転したものなので
ほぼ同じになります。
三角比の偉大さに気付かされる良い問題ですね!
４番目の解き方で点Gから辺ACに垂線を下ろし、その足をHとすると△GACは二等辺三角形でHは辺ACを二等分する点となる。
AC ＝ X とおくと
△GHC∽△ADCより
HC : DC ＝ GC : AC
よって X/2 : 4 ＝ 3 : X
これより X ＝ 2√6 (X > 0)
条件よりtan2C=4tanCよって2tanC/(1-tan^2 C)=2tanC、これを解いてtanC=√2/2するとAD=2√2、三平方よりAC=2√6
前回の巣鴨の同じ様な問題のおかげで楽々解けました！
成長してますね！
別解が大切なことは聞いてはいましたが、実感しました。
（角Bを二等分すれば見通せるかな、と考えて次の様に解きました。)
角Bを二等分する線とACとの交点をE。更にその延長線と、Aを通りBCと並行な線との交点をFとする。四角形ABCDは等脚台形なのでAF=BC-2BD=3、△AEFと△CEBは相似、CE= BEより、AE:BE（=CE）=3:5。△AEBと△ABCは相似より、AB:BC=3:5、従ってAB=3。ここで、AE:CE=3:5だった事からAE=3k、AC=8kと置き、△AEBと△ABCは相似でAE:AB=AB:ACより、3k:3=3:8k。これを解いてk=3/2√6。従ってAC=8k=2√6。
さすが、灘の問題！良い問題です！
角ABCの二等分線の延長線と辺BCに平行で点Aを通る直線との交点をEとすると、角A EBは角ABCの二分の一より三角形ABEはAEイコールABの二等辺三角形となる。ACとBEの交点をFとすると三角形FAEと三角形FBCともに二等辺三角形となるので、台形ABCEは等脚台形となりAEイコール３ABも３となりADがルート８となるのでACも求まりますね。
補助線使って等脚台形を作って、円を作ってからの、円周角の定理を使う
そして、二つの相似の二等辺三角形が現れ、3:8x＝5x:5となり、求めたいのは8xなのでこれを解いて、答えは2√6
初めまして〜おすすめに出てきて昨日から拝見はじめました🙂
昔は算数とか数学得意だったんだけどなぁ。。勉強します😁４つ目のやつ、目から鱗ですね🤗
流石、灘らしい素敵な問題でした♪^ - ^
頭が柔らかくなります
一番簡単にやるなら、Dについて対称になるように、Bの反対側にGをとる。AB=AG=GC=3
Aを中心とした半径3の円を描いて方べきの定理を使うと、
(AC-3)(AC+3)=3•5
∴AC^2=24 ∴AC=2√6
るぬ
４通り目のやり方と途中まで同じでBC上の点GがAG=GC=3 となるときＧを中心に半径3の円を描き、その円と直線ＢＣの延長線の交点をＦとすると直線ＦＣは円の直径で長さは6、∠FACは直角で⊿FAC∽⊿AＤC となるので
FC:AC = AC:HC ACをｘとおけば 6:ｘ=ｘ:４ よりｘ=２√6 AC=２√6
一つ目の相似と三平方の定理を用いたやり方が最も解りやすいと思う
あと角の二等分の性質も含めて
△ABCの外接円をとる。∠ABCの二等分線と円の交点をDとおくと、四角形ABCDは等脚台形となる。よってAB＝3。これでも解けますね。
回答の4つ目すっご・・・つい誰かに話したくなるいい問題
最後の解き方で解けました！
補助辺を引いて無理やり二等辺三角形を作る最後の解き方は結構ありがちですよね。このやり方知ってれば色々対応できそう
先生のおかげで一発で解けました！
4つめのやり方に近いのですが、△ABGを二等辺三角形にするという考え方(Dから右に1のところにGを置く)でした。
そしたらたまたま△GACが二等辺三角形になった…というオチでした。
Dを中心にBの対象位置Eを取れば、三角形EACが2等辺三角形になって、
EA=3, EC=3
だからAD^2=EA^2-DE^2=9-1=8
AC^2=AD^2+DC^2=8+16=24
AC=√24=2√6
やっとで1通り。4通りも思いつかない・・・
流石、灘ですかね?
面白いですね。
1,2は、高校内容ですよね?難関校だと知ってて当たり前でしょうけど?でも、3,4だと徳に4は閃けば、誰でもできそうですよね?兎に角、面白い😍
最後のやり方で解けた！
私は4番目の補助線で解けました。毎日頭の体操させて頂いてます。65年前の気分で。今日は冴えていました。
河野玄斗さんのチャンネルでもこの問題出てきてそこだけすぐ分かった！笑笑
この問題もおもろい！
cos θ + sin θ = tan θ / 3 三角比で引いてみました。比べてみました。
二等分線引いて相似ってのが最初に思い付きました(^ー^)
角の二等分線の性質をすっかり忘れて、相似比でゴリゴリに解いてしまった。だけど角の二等分線の定理の証明ができたのでよしとします。
図形の問題は硬い頭を柔らかくしてくれます❗
灘では簡単な方なのかなぁと思った。
割と簡単な気がしたw
大学入試なら
tan2θ=4tanθ
tanθ=1/√2
AD=2√2
AC=2√6
第４の解はスマートですね。
さすが灘高ですね 角の二等分線と辺の比は普通高校で習う所ですよね。
４つ目の二等辺三角形でＡＢ=３からの、３つ目の相似で出す方が個人的には好き（笑）
時間があれば2020年の中杉の問題の回答出して欲しいです！
ごめんなさい！ちょっとできないです。
でも、僕の動画を見続けて勉強してもらえれば、中杉に合格できる力は必ずつきます。
ほぼ４つ目のやり方で解きました。DCを１:３に分ける点Gを取りました。この時点で、△ABDと△AGDは合同です。 ∠AGDは△GACの外角になり、必然的に∠GAC＝∠GCA になりますね。 あとは先生と同じです(^-^)人(^-^)
アラフィフのおばさんです。RUclipsで「100均でこれだけ買いました」とか、そんな動画ばかりみて
いましたが、こちらの方がずっと面白いです。有難うございます。
笑
ありがとうございます😊
三平方の定理を使う時はADは2乗のままで解いたほうが早いのではないでしょうか。
∠B=2∠C が決め手
辺 BC 上に AB=AE となる点 E をとると∠AEB=∠B=2∠C , ∠EAC=∠AEB-∠C=∠C より AB=AE=EC
BE=1 , EA=EC=3
AD^2=AC^2-CD~2=AB^2-BD^2 で解いてほしい
少なくとも AD^2=8 で止めてください。AD=2√2 としてから AD^2=(2√2)^2=8 はやめて
自分はBからADに二等分線ひいた
最後の解法と全く同じでした
暗算でいけますね
中学入試か高校入試かをタイトルに書いてもらえるとありがたいです！
②③がとっつきやすかったかな、④は悩んだ挙句にたどり着けるかなって思います。灘ってことは中試なんだ。
いや、高校入試です！
@@suugakuwosuugakuni ほっ。
でもやれるのはいるんだろうね。
灘は高校からの入学も受け入れてるよ。
頭の体操になる問題
高さに関する情報が前提に無いので、三角形ABCを30、60、90の直角三角形として解いてしまいました。
カワバタ先生教えてください！
高校数学できるぞ！おれ高校生だぞ！っていう子はみんな見て欲しい！！！！！
AC=xとし、∠ACB=θとする。
ピタゴラスの定理より
(AD)^2=(x^2)-16,(AB)^2=(x^2)-15となる。
また正弦定理
x/sin2θ={√(x^2)-15}/sinθとなる。
加法定理より
x/2sinθcosθ={√(x^2)-15}/sinθと表せる。
両辺に2sinθcosθを掛けて
x=2cosθ•{√(x^2)-15}
∠ADC=⊥よりcosθ=4/AC=4/xであるから
x=(8/x)•{√(x^2)-15}
両辺にxをかけて、両辺を2乗すると
x^4=64(x^2)-64•15 ⇆ (x^4)-64(x^2)+960=0
X=x^2とすると
X=32±8=40,24 ∴x=±2√10,±2√6
∴x=2√10,2√6 (∵x>0)
ここから先の絞り込み方わかる方いらっしゃいますか？
勿論、遠回りに代入すればわかるんですよ？
AC=2√10としたら、ピタゴラスからAD=2√6となるので、cosθ=2/(√10), sinθ=2/(√6)となります。
ピタゴラスをつかって、AB=5がでるんです。
つまりAB=5となるということは、cos2θ=1/5
倍角からcos2θ={(cosθ)^2}-{sinθ)^2}=[{2/(√10)}^2]-[2/(√6)^2]=-(1/5)
こんな感じで、cos2θの値が矛盾するのでAC=2√10は不適とできるんです。
ただ、普通に範囲とかで絞れるはずなんですよ。わかんないすけどw
どなたかわかる方居たら教えてちょw
ABの長さが√(x^2)-15から(x^2)>15で絞れるのでは？
@@johngreen6158 絞り込めてます？
@@user-dm1rp6ov3s 絞り込めてませんでしたwすいません
@@johngreen6158 いえいえww
tanの2倍角公式を覚えていれば
加法定理使えば温すぎわろた
これ灘の問題だったんだ
問題見た瞬間tan使ってしまった
ぱっと思いついたのは2番目やなあ
外角の定理の事を何んと表現しているか聞き取れないです。
ruclips.net/video/T8Hcd_EppVE/видео.html
外角の説明？？？
三角比でといちゃった
ベッド(△BED)とキャド(△CAD)が相似笑。
３つ目のやり方で、どうしてFCがでてくるのかがわからない笑。
４つ目すげ～。
２番目の解き方ならボクにもできそうﾀﾞﾆｬ~
コメ欄のみんなこれ解けるの化け物すぎんか？